an+1=2an+1/an,a1=1,求an

发布网友 发布时间：2024-09-28 20:56

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热心网友 时间：2024-10-08 18:03

这个就是答案。

答案：1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))

我是借助 Mathematica 来求解的，因为中间计算很繁琐，且有一步我也不太会。首先算出这个数列的前几项：

f[n_] := If[n == 1, 1/2, 2 f[n - 1]/(1 + f[n - 1]^2)]

s = Table[f[k], {k, 1, 5}]

输出：

{1/2, 4/5, 40/41, 3280/3281, 21523360/21523361}

这个时候我发现分子比分母小1

于是我假定 f[n] = p[n]/(p[n]+1)，这一步可以用数学归纳法来证明，下面的Mathematica代码给出验证结果。

f = (-1 + p)/p

2 f/(1 + f^2) // FullSimplify

输出结果

(2 (-1 + p) p)/(1 + 2 (-1 + p) p) 分母确实比分子大1

这个时候，我欲求f[n]，就转换为求p[n]

根据f[n]与f[n-1]的关系式，把p[n]带入得到

p[n]/(1 + p[n]) = (2 p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))/(1 + (p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))^2)

这个可以解得p[n]与p[n-1]的关系式：

p[n] = 2 (p[n-1] + p[n-1]^2) = 2 * p[n-1] * ( 1 + p[n-1] )

对上面式子右边进行配方得：

p[n] = 2 (p[n-1] + 1/2)^2 - 1/2

再代换一步

q[n] = p[n]+1/2

就得到了

q[n] = 2 q[n-1]^2

通过查书得知，这种叫非线性递归方程，一般是很难有解的，有的情况还会导致混沌现象。但是万幸，你这个情况是有解的。一般来说，递归方程：

a[n] == k*a[n - 1]^2

两边取对数之后变成:

log( a[n] ) = log(k) + 2 log(a[n-1])

可以解出它的通解为：（注意从这里开始都是幂指数的幂指数）

a[n] = E^(2^n C)/k 这里C为一个待定常数

因此我们这里的q[n] = a[n] = E^(2^n C)/2, 且q[1] = p[1]+1/2 = 1+1/2 = 3/2

C=Log[3]/2

带入化简得到：

q[n] = (3^2^(n-1))/2

从而p[n] = (3^2^(n-1))/2-1/2

f[n] = p[n]/(p[n]+1) = ((3^2^(n-1))-1)/((3^2^(n-1))+1) 或者 1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))

中间计算太繁琐了，有可能有不对的地方，但最后的通项公式我是编程验证过的，没有问题。

Mathematica程序验证一下：

Table[((3^2^(n - 1)) - 1)/((3^2^(n - 1)) + 1), {n, 1, 10}]

热心网友 时间：2024-10-08 18:00