...的行列式乘以A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方。_百度知...

发布网友发布时间：2024-09-27 04:53

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热心网友时间：2024-10-04 20:02

AA*=|A|E；|AA*|=|A|^n

把|A|提到E里面去，会发现从左上到右下的一列数都是|A|，所以|A|E=|A|^n。

矩阵行列式(determinant of a matrix)是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。

若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。

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相关定理

定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)[2]。

证对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)。

定理2 设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

热心网友时间：2024-10-04 20:07

AA*=|A|E
|AA*|=|A|^n

热心网友时间：2024-10-04 20:01

热心网友时间：2024-10-04 20:06

AA*=|A|E；|AA*|=|A|^n

把|A|提到E里面去，会发现从左上到右下的一列数都是|A|，所以|A|E=|A|^n。

若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵不存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

扩展资料：

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1，k+1det(M1，k+1)

令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

参考资料来源：百度百科——矩阵行列式

参考资料来源：百度百科——伴随矩阵

热心网友时间：2024-10-04 20:02

AA*=|A|E；|AA*|=|A|^n

把|A|提到E里面去，会发现从左上到右下的一列数都是|A|，所以|A|E=|A|^n。

若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。

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