一道高数极限的题目 (1+x)^(1/x),当x趋于0时,该式子的泰勒展开式的三...
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发布时间：2024-09-28 03:08
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时间：2024-09-29 18:49
直接展开没有办法做，只能变化！
(1+x)^(1/x)
=e^ln[(1+x)^(1/x)]
=e^[ln(1+x)/x]
而：
ln(1+x)=Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，其中：|x|<1(条件很重要，必须指出！)
因此：
ln(1+x)/x =Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n)]/(n+1)
e^x= Σ(n:0→∞) [x^(n)]/n!
因此：
e^[ln(1+x)/x]
=e^{Σ(n:0→∞) [(-1)^n][x^(n)]/(n+1)}
=e^[1-(x/2)+(x²/3)-(x³/4)+.........]
=e·[e^(-x/2)]·[e^(x²/3)]·[e^(-x³/4)]
=e·[Σ(n:0→∞) [(-x/2)^(n)]/n!]·[Σ(n:0→∞)(x²/3)^(n)]/n!]·[Σ(n:0→∞)(-x³/4)^(n)]/n!]........
下面就是排列组合的事了！
即：
e^[ln(1+x)/x]
=e·[1+(-x/2)+(x²/8)+(-x³/48)+o(x³)][1+(x²/3)+o(x³)][1-(x³/4)+o(x³)]....
∴x³的系数为：e·[(-1/4)+(-1/2)×(1/3)-(1/48)]=-7e/16
因此：x³的系数为：-7e/16
