...构成的矩阵等价于单位矩阵就可以证明向量组是n维空间的基呢?_百度...

单位矩阵的n个列向量（行向量也ok），是n维空间最简单的基。两个矩阵等价，也就是两个矩阵的列向量组可以相互表示。也就是n维空间任意向量都可以被这n个向量线性表示。而且，这n个向量线性无关。这自然就是一组基了。

首先这组向量含有n个向量，再证明这个向量组线性无关。等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

A矩阵不可逆 <=> A非奇异<=> |A|≠0<=> A可表示成初等矩阵的乘积<=> A等价于n阶单位矩阵<=> r(A) = n<=> A的列(行)向量组线性无关<=> 齐次线性方程组AX=0 仅有零解<=> 非 齐次线性方程组AX=b 有唯一解<=> 任一n维向量可由A的列(或行)向量组线性表示<=> A的特征值都...

以线性代数中的向量组形式来解释。一个m×n的矩阵，可以看做n个m维列向量组成。若这一组n个向量中，有多余向量，即某一个或几个向量，可以由其他向量表示出来，即可说，这一组向量线性相关。如(1,1) (1,0) (0,1)三个向量，显然(1,1)＝(1,0)＋(0,1)，立即得，三个向量线性相关（即有...

故与单位向量组等价 例如：证明：1、充分性显然，因为n+1个n维向量必定线性相关，所以a可由a1,a2,……,an线性表示。2、必要性：因shu为a是任意n维向量，所以a可由a1,a2,……,an线性表示意味着a1,a2,……,an能表出整个n维空间。若a1,a2,……,an线性相关，则极大线性无关组个数少于n，所以...

(a1,a2,...an)X = b 有解=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示充分性:因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).所以 a1,a2,...an 线性无关.

向量组的等价 比 矩阵的等价要求要高 向量组等价则秩相同, 反之不对 矩阵等价<=>秩相同, 由此知B组的秩为m

所以也可以利用克莱姆法则，因为线性方程组恒有解，所以A必须满秩，否则恒可以找到一个b使得增广矩阵的秩大于A（其实只需要取b向量使得它不能被A线性表示即可）。由于A满秩，所以A的行向量和列向量都构成了n维向量空间的一组基，自然可以任意表示。（其实这个结论在说明A满秩的时候已经可以看到了）...

向量空间的基向量组彼此等价. (3) 两个线性无关的 (列)向量组之间可能没有任何关系（谁也不能被谁线性表示）， (4) 两个向量组的秩相等,它们也不一定等价 (5) 两个向量组的秩相等,向量个数相同,它们也不一定等价.但是,若各自排成一个矩阵,这两个矩阵等价.[] 查看原帖>> ...

两个矩阵等价，是说明可以通过可逆矩阵相互转换。即A=PB，其中P可逆 两个向量组等价，说明向量组之间可以相互线性表示。如果把矩阵看成列向量的组合，则 A=(A1,A2,...,An)=PB=P(B1,B2,...,Bn)=(PB1,PB2,...,PBn)从而可以看出，A的列向量，都可以通过B的列向量，线性表示。这个就能看出...