...向量空间Rn的一个基,A是任意一个n阶可逆矩阵,证明:n维列向量组...

则 A(k1a1+k2a2+...+knan)=0 因为A可逆, 等式两边左乘A^-1得 -- 这一步是关键 k1a1+k2a2+...+knan = 0 又由已知 a1,a2,a3,...an 线性无关 所以 k1=k2=...=kn=0.故 Aa1,Aa2,...,Aan 线性无关 所以 Aa1,Aa2,...,Aan 是 R^n 的一个基.之前回答过你的问题 若...

因为Rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出，故它是Rn的一组基。下面证明这一事实，设X是Rn中的任意一向量，a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量，由Rn中任意n+1个向量必然线性相关，故X，a1,a2,...,an线性相关，即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得 bX+k1a1...

β^T -1 所以 |H|=-|A+αβ^T| 所以 det(A+αβ^T)=(1+β^TA^-1α)det(A).(2)因为 r(A^TA)=r(A)=r A^TA是r阶方阵 故 det(ATA)≠0.

若这个结论没问题, 就可以这样证明充分性 因为对任意n维向量β,方程组Ax=β有解 所以任一n维向量都可由A的列向量组线性表示 特别地, 对n维基本向量 ε1,ε2,...,εn 可由A的列向量组线性表示 而任一n维向量都可由 ε1,ε2,...,εn 线性表示 所以, A的列向量组与 ε1,ε2,...,...

因为有限维线性空间一定有一组基，个数为n，是该线性空间的维数 而且只要是n个线性无关的向量都可以和这组基互相线性表出。证明方法是使用数学归纳法，这里不赘述。

证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2 = E-4αα^T/(α^T...

右乘可逆矩阵等同于对原矩阵进行初等列变换，初等变换不改变线性无关性。在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。线性无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。从维数空间上讲，例如，一个三维空间，那么必须用三个线性无关的向量来表示，如果在加上另外一个向量，那么这个向量必然...

所以 det[A, B; C, D] = det(A) det(D-CA^{-1}B)这就是 Gauss 消去法的块形式, D-CA^{-1}B 叫做 Schur 补 类似地, D 可逆时 det[A, B; C, D] = det(D) det(A-BD^{-1}C)第1题就是这样做出来的 对于第 2 题, 在 A 可逆的前提下 det [A, α; α^T, 1] ...

证明n阶矩阵的秩为n，等价于证明它是可逆矩阵，也就是行列式不为零。具体的证明过程如下图，中间用到了一个重要的行列式引理。

因为 (Aa1,Aa2,Aa3,Aa4,Aa5)= A(a1,a2,a3,a4,a5)且A可逆所以 r(Aa1,Aa2,Aa3,Aa4,Aa5)=r[A(a1,a2,a3,a4,a5)]= r(a1,a2,a3,a4,a5)= 5所以 Aa1,Aa2,Aa3,Aa4,Aa5 线性无关.