计算二阶齐次常系数微分方程的特解!!!

发布网友发布时间：2022-05-09 18:09

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热心网友时间：2023-05-19 07:19

y''+py'+q=f(x)e^（入x) f(x)为x的多项式：f(x)=A1x^n+A2x^(n-1)+A3x^(n-2)+......Anx+A
1\
第一步：
解齐次方程y''+py'+q=0的通解：
特征方程：r^2+px+q=0
r1=a, r2=b
则通解为：y=c1e^(ax)+c2e^(bx)
第二步：
找y''+py'+q=f(x)e^(入x)的一个特解：
如果:
（1）入是r^2+px+q=0的解，则设特解为：
y=xg(x)e^(入x).................1
其中g(x)为x的n次多项式，即g(x)=b1x^(n)+b2x^(n-1)+.....b（注意不要丢掉最后一项）
然后求出1式中y', y''为多少。
然后，代入y''+py'+q=f(x)e^(入x)，对比等式两端。即可求出特解。
（2)入不是r^2+px+q=0的解，则设特解为y=g(x)e^(入x)

2\ 另外，如果r^2+px+q=0是虚数解，则设解为：
r1=a+bi r2=a-bi
则：齐次方程y''+py'+q=0的通解：
y=(c1cosbx+c2sinbx)e^(ax)
（1）当入是r^2+px+q=0的解中的实部，（即入=a),则设特解为：
y=xg(x)(dcosbx+esinbx)e^(入x).................1
其中g(x)为x的n次多项式，即g(x)=b1x^(n)+b2x^(n-1)+.....b（注意不要丢掉最后一项）
然后求出1式中y', y''为多少。
然后，代入y''+py'+q=f(x)e^(入x)，对比等式两端。即可求出特解。
（2)入不是r^2+px+q=0的解中的实部，则设特解为
y=g(x)（dcosbx+esinbx)e^(入x)

3\ 如果r^2+px+q=0是两个相等的解，即r1=r2=a
则：齐次方程y''+py'+q=0的通解：
y=c1xe^(r1x)+c2e^(r2x)=(c1x+c2)e^(ax)
其它同1中一样。

第三步：
通解
y=齐次方程通解+非齐次方程特解

热心网友时间：2023-05-19 07:20

先求出通解在将定解条件代入求出通解中两个未知数追问那在非齐次情况下呢？我记得有个设特解是有模式的