佐恩引理的解析

发布网友发布时间：2022-05-09 20:28

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热心网友时间：2023-10-17 23:20

具体来说，假设(P, <)是一个偏序集，它的一个子集T称为是一个全序子集，如果对于任意的s, t ∈T，s < t或t < s二者中有且仅有一个成立。而T称为是有上界的，如果P中存在一个元素u，使得对于任意的t ∈T，都有t < u。在上述定义中，并不要求u一定是T中的元素。而一个元素m ∈T称为是最大的，如果x ∈T且x \ge m，则必然有x = m。
佐恩引理，良序定理（well-ordering theorem）和选择公理（axiom of choice）彼此等价，在集合论的Zermelo-Fraenkel公理（Zermelo-Fraenkel axiom of set theory）基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析（Functional Analysis）的罕-巴那赫定理（Hahn-Banach Theorem）、断言任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的Tychonoff定理，和抽象代数中证明任何环必然有极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都起到了关键性作用。
佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环R必然有极大理想。用P来表示R的所有真理想（即R的所有双边理想，且该理想是R的真子集）。在P中引入一个偏序，定义为集合的包含关系，那么P中必然有一个极大元素，并且这个元素是R的真子集，从而R有一个极大理想。
为了应用佐恩引理，需要证明P的任何一个全序子集T都有一个上界，即存在一个理想I满足I is subset of R并且I比T中任何一个元素都大，但I并非R本身。现取I为T中所有理想的并。可以证明，I是一个理想：如果a和b是I中的两个元素，那么必然存在T中两个理想J, K ∈T满足a ∈J, b ∈K。注意T是一个全序集，所以必然有J is subset of K或者K is subset of J，从而必然有a, b ∈J或a, b ∈I二者居其一，从而a + b ∈I。进一步，对于任何r ∈R, a ∈I都可以证明ra ∈I。由此，I成为R的一个理想。
现在考虑证明的核心部分：利用I = R充要于1 ∈I，可以证明I一定是R的真子集。因为如果1 ∈I，那么必然有某个J ∈T满足1 ∈J，这意味着J = R，这与T的选取是矛盾的。
这样，利用佐恩引理，P必然包含一个最大元素，而这个元素就是R的一个极大理想。
注意这个结论只在R是单位环的时候成立，在R不是单位环的情形下，一般而言这个结论是不成立的。
假设佐恩引理不成立，那么存在一个偏序集P使得它的任何一个全序子集都有上界，但P中任何元素都不是最大元素。因此，对于任何一个全序子集T，可以定义一个元素b(T)，使其大于T的上界。为了确保这样的定义是可以实现的，必须首先承认选择公理。
利用上面定义的函数b，可以定义一个序列a_0 < a_1 < \dots ，这里作为下标的指标集不仅可以是自然数，也可以是所有序数。事实上，可以将序列构造得“足够长”使得其甚至多于P本身，因为序数是可以多于任何集合的基数的，因此P将被这个序列穷尽，从而导出一个矛盾。
上述的序列可以利用超限归纳法构造：a_0可以选择为P中任意元素（这样的选择是可行的，原因是P至少包含空集的一个上界，从而P是非空的），而对于任意一个序数w，定义a_w = b(\{a_v \mid v < w\})，注意a_v是全序的，所以a_w的定义是合理的。
事实上这个证明的结论略强于佐恩引理：
如果P是一个偏序集，并且它的任何一个良序子集都有上界，那么对于P的任意元素x而言，P中有一个大于等于x的最大元素。换言之，存在一个可以与x比较的最大元素。