我请问一下关于中国剩余定理的问题。

发布网友发布时间：2022-05-10 00:38

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热心网友时间：2023-10-15 07:37

中国剩余定理
一、剩余问题在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题。
二、两个定理定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被数a整除。
如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除。
定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
如：22÷7＝3……1 （22×4）÷7＝12……1×4（＝4）（要余2即 22×2÷7＝6……2）（22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2）（想余5则22×5÷7＝15……5）
注意：定理2是重点。
一、如果你解的题目中不是3、5、7，就把其中两个数的公倍数除以其余的一个数，如果余数不符合题目中对其余的这个数的要求，就把余数扩大到符合题目中对其余的这个数的要求为止。一定记住被除数也扩大相同的倍数。
二、两两求出符合各自余数条件的被除数后，如果大于三个数的最小公倍数，根据需要就减去三个数的最小公倍数的倍数。给你举个实例：例：有一些苹果，4个4个数，剩2个；6个6个数，剩2个，7个7个数，剩3个。这些苹果至少有多少个？注：[ ]表示最小公倍数。
（1）[4、6]=12，12÷7=1（余)5，（而题目要求余3），把余数5扩大2倍，5×2=10，10÷7=1（余）3。
把12也乘2得到被除数是24。（ 24这个数就符合条件。24÷7=3（余）3.）
（2）[4 7]=28,28÷6=4（余)4
余数4×2÷6（余)2 已符合条件
被除数即28×2=56（符合条件)
（3）[6 7]=42
42÷4=10(余）2（正好符合条件)
被除数42就成
（4）以上3个找出符合条件的被除数相加：24+56+42=122
（5）[4 6 7]=84
(6)122-84=38
38小于168，所以38就是答案。
答：这些苹果至少有38个。

热心网友时间：2023-10-15 07:37

在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：　　“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，　　七子团圆正半月，除百零五便得知。” 　　这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组　　N=3x+2,N=5y+3,N=7x+2 　　的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。　　《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：　　N=70×3+21×3+15×2－2×105。　　这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式　　N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整数）。　　孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：　　也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。　　应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即　　N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n），　　只需求出一组数K，使满足　　1（mod ai）（i=1、2、……n），　　那么适合已给一次同余组的最小正数解是　　（P是整数，M=a1×a2×……×an），　　这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。