同解齐次线性方程组的秩是否一定相等?

发布网友发布时间：2022-05-10 03:59

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热心网友时间：2023-10-30 00:21

同解齐次线性方程组的秩一定相同。

两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解，x是n维列向量解相同，所以可以有相同的极大无关组，也就是有相同的基础解系，基础解系所含的向量个数也是一样的但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)所以 n-r(A)=n-r(B)从而 r(A)=r(B)

秩是线性代数术语，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。

但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

热心网友时间：2023-10-30 00:21

同解齐次线性方程组的秩一定相同。

两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量
解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,
基础解系所含的向量个数也是一样的
但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)
但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)
所以 n-r(A)=n-r(B)
从而 r(A)=r(B)

秩是线性代数术语，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

热心网友时间：2023-10-30 00:22