常见数列通项公式求法总结

发布网友发布时间：2024-10-13 16:13

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热心网友时间：2024-10-15 07:01

专为高考学子精心整理的数列通项公式求解秘籍，深入浅出地揭示解题技巧。

一、初等法探寻一阶常系数线性递推

从基础出发，我们探讨（a, b 为恒定常数）的递推关系：

当 a ≠ 0 且 b ≠ 0，数列成为等差数列，记为（an）。
若 a = 0 或 b = 0，数列简化为常数列或等比数列。
若 a = 1，b ≠ 0，可以化为等比数列，如 (an) = b^n。

关键转换如下：

对于 (an + b an1) = a an1，通过除以 an1 得到通项公式（an）。
当 a an1 = b an1，用待定系数法求解，简化为 (an) = (c + dn)bn。

更多深入探讨请参考经典教材，例如吴顺唐与邓之光的《有限差分方程概论》。

二、二阶常系数齐次线性递推的特征根法

当涉及到 an - (a1 + a2) an1 + c an = 0，特征根法大显身手：

求出特征方程的根后，结合初值条件求解通项。
重根的情况，通过变形处理，同样可得通项公式。

非齐次线性递推在高考中鲜有涉及，更多解法请参考书籍中的详尽讲解。

三、分式与不动点法的巧用

面对形如 an/an1 的数列，通过不动点寻找解题线索：

找到方程的不动点，结合根的性质，求得通项公式。
特殊形式如 an = (an1 + c)^n，通过变换简化求解。

深入理解这些技巧，将在面对复杂数列时得心应手。

四、三角与双曲换元的解题艺术

当数列与三角或双曲函数相关，如 an = sin(bn) 或 an = cosh(cn)，换元法是关键：

通过 an = bnn 和 an = bn^n 的形式，数学归纳法揭示通项公式。

掌握了这些，复杂数列的解法不再神秘。

五、配方法的巧妙应用

在特定情况下，通过配方法，如 an^2 - (c2 - d2) an + cd = enn，可以化简为一阶线性递推，便于求解。

这些解法策略，无论在高考还是日常学习中，都具有极高的实用价值。不断实践，你将发现数列的秘密世界更加丰富多彩。祝你学习进步，高考顺利！