黎曼可积区间的分割

发布网友发布时间：2024-10-13 15:10

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热心网友时间：2024-11-16 14:07

在数学中，考虑一个闭区间[a, b]的一个分割意味着在此区间中选取有限个点。每个点之间的闭区间被称为子区间。定义λ为这些子区间长度的最大值，表示为λ = max(xi + 1 − xi)，其中i为区间序列的索引。

进一步定义取样分割，即在进行分割后，在每一个子区间[xi, xi + 1]中选取一点。与分割类似，λ的定义保持不变。

引入精细化分割的概念，假设已经有一个取样分割，另一个分割也在此区间进行。如果对于任意子区间，都存在r(i)使得xi = yr(i)，并且存在ti = sj，那么我们称后一个分割为前一个分割的精细化分割。简而言之，精细化分割是在原始分割基础上添加了额外的分点和标记。

基于此，我们可以定义区间所有取样分割间的偏序关系，称为“精细”。如果一个分割是另一个分割的精细化分割，那么可以说前者比后者更“精细”。这种关系为分析数学中的积分理论提供了一个基础框架，特别是在黎曼积分的定义中。