欧拉闭迹定理及证明

发布网友发布时间：2024-10-13 14:56

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热心网友时间：2024-10-13 15:13

欧拉闭迹定理涉及到连通图的性质，其核心内容可以表述如下：

如果G是一个连通图，那么（1）G存在欧拉迹的充分必要条件是G中恰好有两个奇数度的顶点；（2）G存在欧拉闭迹的充分必要条件是G中的所有顶点都是偶数度的。

对于定理的证明，我们仅关注欧拉闭迹的情况。首先，我们注意到必要性是显而易见的。接下来，我们用归纳法来证明充分性。当G是一个每个顶点都是偶数度的最小连通图，即K3时，欧拉闭迹的假设成立。现在假设对于3到k（k≥3）的连通图G，该命题成立。我们考虑一个有q(G)=k+1个顶点的连通图G。

由于G没有1度顶点，它不可能是树，因此必定存在至少一个圈，假设这个圈是C。将C的所有边从G中移除，得到的新图G'的顶点依旧是偶数度的。G'可以分解为无公共顶点的连通图G1, G2, ..., Gm。其中，前m个图（假设为平凡图，即每个顶点度数为0）根据归纳假设都有欧拉闭迹W1, W2, ..., Wm。把这些闭迹与C合并，即W1∪W2∪...∪Wm∪C，就构成了G的欧拉闭迹。

通过这个过程，我们证明了当G的顶点全是偶数度时，确实存在欧拉闭迹，从而完成了充分性的证明。这个定理为我们理解连通图的欧拉性质提供了关键的理论依据。