设a,b,c都是正数且a+b+c=1,求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

发布网友 发布时间：2024-10-12 14:42

我来回答

共4个回答

热心网友 时间：2024-11-11 23:44

左式=(1+a)(1+b)(1+c)
=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)
=[(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+(b+c)]
≥2√(a+b)√(a+c)·2√(a+b)√(b+c)·2√(a+c)√(b+c) （由均值不等式）
=8(b+c)(a+b)(a+c)
=8(1-a)(1-b)(1-c)=右式

热心网友 时间：2024-11-11 23:39

你提供的网页http://zhidao.baidu.com/question/113359396.html?fr=ala0 给出的证明是错误的，你没有看懂，谁也不会看懂，该网页给出的证明是由http://zhidao.baidu.com/question/86037057.html?fr=qrl&cid=983&index=1
上抄袭了题目“设a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8”的证明，该题与本题并不完全一样，所以该证明中出现一些莫明其妙的话:分子展开,这里哪来的分子？一开始引入1/a-1 = (1-a)/a = (b+c)/a也莫明其妙，让你困惑。
下面给出正确的做法：
解由a+b+c=1得1+a=a+b+c+a，利用均值不等式得
1+a=(a+b)+(c+a)≥2√((a+b)(c+a))
同理1+b≥2√((a+b)(b+c)),1+c≥2√((c+a)(b+c)),
故得(1+a)(1+b)(1+c)≥8√((a+b)(c+a))√((a+b)(b+c))√((c+a)(b+c))
=8(b+c)(a+b)(a+c)
即 (1+a)(1+b)(1+c)≥8(b+c)(a+b)(a+c)
又由a+b+c=1得b+c=1-a, a+b=1-c, a+c=1-b
故得 (1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

热心网友 时间：2024-11-11 23:41

a,b,c都是正数，所以1/a>0，a+b+c=1,所以a<1,所以(1/a)-1=(1/a)-a/a=(1-a)/a=(b+c)/a,
原式两边除以a*b*c得：[(b+c)/a]*[(c+a)/b]*[(a+b)/c]=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).

热心网友 时间：2024-11-11 23:39

左式=(1+a)(1+b)(1+c)
=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)
=[(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+(b+c)]
≥2√(a+b)√(a+c)·2√(a+b)√(b+c)·2√(a+c)√(b+c) （由均值不等式）
=8(b+c)(a+b)(a+c)
=8(1-a)(1-b)(1-c)=右式
a,b,c都是正数，所以1/a>0，a+b+c=1,所以a<1,所以(1/a)-1=(1/a)-a/a=(1-a)/a=(b+c)/a,
原式两边除以a*b*c得：[(b+c)/a]*[(c+a)/b]*[(a+b)/c]=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).