一道有关二次函数的难题,求详细过程
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发布时间：2024-10-13 01:16
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时间：2024-10-13 01:33
=(1-m)x^2+(a-m)x+b-m=0有相等实根，
<==>(a-m)^2-4(1-m)(b-m)=a^2-2am+m^2-4[b-(1+b)m+m^2]=-3m^2+(4+4b-2a)m+a^2-4b=0,①
△(m)/4=(2+2b-a)^2+3(a^2-4b)=(2+2b)^2-a(4+4b)+4a^2-12b=4a^2-a(4+4b)+(1+b)^2+3(1-b)^2
=[2a-(1+b)]^2+3(1-b)^2>0,(a≠1),
∴方程①有不等的实根，命题成立。
(2)m1+m2=(4+4b-2a)/3,m1m2=(4b-a^2)/3,
∴(m1-1)(m2-1)=m1m2-(m1+m2)+1=[4b-a^2-(4+4b-2a)+3]/3=-(a-1)^2/3<0,
∴m1<1<m2,
由(1),f(x)-mg(x)=(1-m)(x-x0)^2,其中x0是方程f(x)-mg(x)=0的相等实根，
∴f(x)-m1g(x)=(1-m1)(x-x0)^2>=0,f(x)-m2g(x)=(1-m2)(x-x0)^2<=0,
∴m1g(x)<=f(x)<=m2g(x).
(3)a^2=4b-3,f(x)=(x+a/2)^2+3/4>0,g(x)=(x+1/2)^2+3/4>0,
∴2√[f(x)g(x)]<=f(x)+g(x).
