A'A =AA 求证A是对称矩阵

发布网友发布时间：2024-10-13 01:05

共3个回答

热心网友时间：2024-10-13 08:46

A'A=AA
(A'-A)A=0
A'-A=0或者A=0
A‘=A或者A=0
当A=0时，A’=0=A
所以A‘=A，A是对称阵
回答者： LePAc | 六级

这个回答有误人弟子之痛啊！矩阵乘法满足消去律吗？下面给出一个严谨的证明，中间需要一点技巧，可能不太容易想到：
引理：B'B=0当且仅当B=0
证明：<=显然；
=> 任取一个向量x，由x'B'Bx=0得(Bx)'Bx=0从而Bx=0,由x的任意性可知Bx=0的解空间维数为n(这里n假设矩阵为n*n的)，则可知B的秩为0所以B=0.
下面开始证明：
由A‘A=AA可得AA’=A‘A’，所以(A‘-A)(A-A')=A'A-AA-A'A'+AA'=0由上面的引理得A'-A=0所以A=A'.

热心网友时间：2024-10-13 08:49

A'A=AA
(A'-A)A=0
A'-A=0或者A=0
A‘=A或者A=0
当A=0时，A’=0=A
所以A‘=A，A是对称阵

热心网友时间：2024-10-13 08:50

tr[(A-A')'(A-A')]=0