求y'+ytanx=cosx的通解
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发布时间：2024-10-13 08:01
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时间：2024-11-15 07:25
解:微分方程为y'+ytanx=cosx，化为y'+ysinx/cosx=cosx，y'/cosx+ysinx/cos²x=1，(y/cosx)'=1，y/cosx=x
+c，方程的通解y=(x+c)cosx(c为任意常数)
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时间：2024-11-15 07:23
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时间：2024-11-15 07:30
不必写为 -ln|cosx|。
若是最后的结果积分， 且不代换掉对数函数，则写为带绝对值符号的。
y'+ytanx = cosx 是一阶线性微分方程， 通解是
y = e^(-∫tanxdx) [∫cosxe^(∫tanxdx)dx + C]
= e^(lncosx) [∫cosxe^(lncosx)dx + C]
= cosx(∫dx + C) = (x+C)cosx
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时间：2024-11-15 07:23
首先，y'+ytanx=cosx是一个线性微分方程（回忆线性微分方程的形式是dy/dx = P(x)*y + Q(x)），所以可以相应解答。在这道题目中，Q(x)=cos x，所以应该有
y = C(x) * e^∫(-tan x)dx （1）
其中C(x)满足
dC/dx * e^∫(-tan x) dx = cos x （2）
从(2)式中可以通过直接积分得到C：
C(x) = ∫[cos x * (e^∫tan x dx)] dx （3）（此处用到了∫(-tan x) dx = -∫tan x dx）
从（1）（3）就能得到解了。
另外，应该这么看绝对值的事：积分∫tan x dx = ∫(sin x / cos x)dx = -∫d(cos x) / cos x = - ln | cos x| + 常数，所以e^∫(-tan x)dx = 常数 * |cos x|，e^∫tan x dx = 常数 / |cos x|，这里都带着绝对值以保证对数函数的自变量为正，但在C(x)里，由于e^∫tan x dx需要乘以cos x后再积分才能得到C(x)，这样有没有绝对值符号都只差一个符号，都是一个常数，所以就归入最终解答里的C了；但最终解答中括号外的e^(-∫tan x dx)所得的|cos x|中的绝对值符号却不能动，因为没有什么可动的（如果是C1(x + C2)|cos x|，即还有另一个常数，那么这里的绝对值就完全可以省掉）。
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时间：2024-11-15 07:22
先解特征方程：
y' + y * tanx = 0
y' = dy/dx = -y * tanx
可以得到：
dy/y = - sinx/cosx * dx = d(cosx)/cosx
方程两边同时积分，得到：
lny = ln(cosx)
则：
y = Y * cosx
再把 Y 作为 x 的函数，那么可以得到：
y' = Y' * cosx - Y * sinx
把这个结果代入原积分方程：
Y' * cosx - Y * sinx + Y * cosx * tanx = Y' * cosx = cosx
所以，Y' = 1 = dY/dx
那么，Y = x + C
因此，y = Y * cosx = x * cosx + C * cosx
