1+1/2+1/3+1/4+.+1/n必定小于那个整数?
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发布时间：2024-10-09 07:05
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时间：2024-10-21 00:33
因为当 x＞0 时,不等式 x＞ln(1+x) 恒成立（这是一个重要的不等式,可用“导数”证明）,所以
1＞ln(1+1)=ln2
1/2＞ln(1+1/2)=ln(3/2)
1/3＞ln(1+1/3)=ln(4/3)
1/4＞ln(1+1/4)=ln(5/4)
……
1/(1-n)＞ln[1+1/(n-1)]=ln[n/(n-1)]
1/n＞ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n],
于是
(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)
＞ln2 + ln(3/2) + ln(4/3) + ln(5/4) +……+ ln[n/(n-1)] + ln[(n+1)/n]
= ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n+1)/n]
= ln(n+1),
当 n--->∞ 时,ln(n+1)--->∞,所以 (1+1/2+1/3+1/4+……+1/n)--->∞.
