高数问题,求详解
发布网友
发布时间:2024-10-08 19:14
我来回答
共1个回答
热心网友
时间:2024-10-13 21:13
f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|= (x−2)(x +1) |x(x −1)(x +1)|
函数f(x)在某一点x0可导的充要条件是f(x)在x=x0的左右导数都存在且相等,
显然f(x)存在3个可能的不可导点x= -1,x=0和x=1
在x= -1的时候,
左导数
f'-(-1)= lim[x-> -1-] [f(x) -f(-1)] / (x+1)
=lim[x-> -1-] f(x) / (x+1)
=lim[x-> -1-] (x−2) |x(x −1)(x +1)|
同理右导数
f'+(-1)= lim[x-> -1+] [f(x) -f(-1)] / (x+1)
=lim[x-> -1+] (x−2) |x(x −1)(x +1)|
显然在x-> -1-和x-> -1+的时候,
(x−2) |x(x −1)(x +1)|都等于0,
所以x=-1时,f(x)的左右导数相等,故x= -1时,f(x)可导,
而在x=0的时候,
x(x −1)(x +1)在x=0的左邻域内大于0,在x=0的右邻域内小于0
所以
lim[x->0-] f(x)=(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1)
lim[x->0+] f(x)= -(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1)
左导数
f'-(0)= lim[x->0-] [f(x) -f(0)] / x
= lim[x->0-] f(x) / x
=lim[x->0-] (x−2)(x +1)x(x −1)(x +1) / x
=lim[x->0-] (x−2)(x +1)(x −1)(x +1)
=2
而右导数
f'+(0)=lim[x->0+] [f(x) -f(0)] / x
=lim[x->0+] f(x) / x
=lim[x->0+] -(x−2)(x +1)x(x −1)(x +1) / x
=lim[x->0+] -(x−2)(x +1)(x −1)(x +1)
= -2
显然左导数不等于右导数,
故在x=0这一点,f(x)不可导
同样可以算出
在x=1这一点,f'-(1)=4,f'+(1)= -4
f(x)的左导数也不等于右导数,
故在x=1这一点,f(x)也不可导,
所以综上所得,f(x)在x=0和x=1处不可导,
有两个不可导的点,选择C
不明白再追问我追问"显然f(x)存在3个可能的不可导点x= -1,x=0和x=1",那x=2不行吗
追答x=2的时候是肯定可导的,
f(x)= (x−2)(x +1) |x(x −1)(x +1)|
f(2)=0,
于是
x=2处的左导数
f'-(2)=lim[x->2-] [f(x) -f(2)] / (x-2)
= lim[x->2-] f(x) / (x-2)
= lim[x->2-] (x +1) |x(x −1)(x +1)|
同理右导数
f'+(2)= lim[x->2+] [f(x) -f(2)] / (x-2)
= lim[x->2+] (x +1) |x(x −1)(x +1)|
左右导数一定是相等的
注意到x=2这个因子不在绝对值的符号之内,通常情况下这一点都是可导的