证明:若函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且?x∈[0,1],有|f″(x)|≤1,又f...
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发布时间：2024-10-09 00:52
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时间：2024-11-15 21:57
∴?ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=0
∴对f′（x）在x=ξ处，利用泰勒公式进行一阶展开，得到
f′（x）=f′（ξ）+f″（η）（x-ξ），其中η处于x和ξ之间
而f′（ξ）=0
∴f′（x）=f″（η）（x-ξ），
∴f′（0）=f″（η1）（0-ξ），f′（1）=f″（η2）（1-ξ），其中η1∈（0，ξ），η2∈（ξ，1）
又?x∈[0，1]，有|f″（x）|≤1
∴|f'（0）|+|f'（1）|=ξ|f''（η1）|+（1-ξ）|f''（η2）|≤1
得证．
