指数分布的中心矩和原点矩是多少啊?

发布网友发布时间：2024-10-08 16:56

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热心网友时间：2024-11-23 13:34

给定随机变量 X 满足指数分布，即 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 λ > 0。我们来计算 X 的三阶中心矩和三阶原点矩。

首先，我们知道指数分布的概率密度函数为 f(x) = λe^(-λx)，x ≥ 0。

三阶中心矩：
三阶中心矩定义为 E[(X - E[X])^3]，其中 E[ ] 表示期望值运算。

首先，计算 X 的期望值 E[X]：
E[X] = ∫[0, ∞] xf(x) dx
= ∫[0, ∞] x(λe^(-λx)) dx
= 1/λ

接下来，计算 E[(X - E[X])^3]：
E[(X - E[X])^3] = ∫[0, ∞] (x - 1/λ)^3(λe^(-λx)) dx
= 6/λ^3

因此，X 的三阶中心矩为 6/λ^3。

三阶原点矩：
三阶原点矩定义为 E[X^3]。

计算 E[X^3]：
E[X^3] = ∫[0, ∞] x^3(λe^(-λx)) dx
= 6/λ^3

因此，X 的三阶原点矩也为 6/λ^3。

综上所述，对于指数分布 X ～ e(λ)，其中 λ > 0，它的三阶中心矩和三阶原点矩都等于 6/λ^3。