【数值计算】龙贝格(Romberg)求积算法

发布网友发布时间：2024-10-08 16:57

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热心网友时间：2024-12-02 13:57

复化求积公式是数值积分领域常用的方法，旨在提高精度。通过在区间上划分多个子区间，并在每个子区间应用低阶求积公式，累加结果得出近似积分值。

复化梯形公式在每个子区间上应用梯形法则。公式表示了将积分近似为梯形区域面积的计算方法。当子区间足够小，梯形法则收敛于积分值。截断误差分析表明，随着子区间数量增加，误差减小。

复化辛普生公式进一步改进，通过利用子区间中点，应用辛普生法则。每个子区间计算结果相加，同样地，随着子区间减少，近似值趋近真实积分。辛普生法的截断误差也随着子区间数量增加而减小。

复化柯特斯公式是一种高阶求积方法，基于多项式插值。其精度依赖于多项式阶数，通过在每个子区间内选取特定的节点进行计算。柯特斯法同样具有随着子区间减少而提高精度的特性。

区间逐次分半求积法则是通过不断减小区间长度，直到满足精度要求。以梯形复化求积为例，计算初始近似值，再将区间分半，重复计算直至满足精度。这种策略提高了计算的灵活性。

龙贝格求积算法通过复用上一步计算结果，改进近似值。在梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式之间构建联系，使得精度提升。实际上，通过列表计算，将剩余部分视为误差补偿，龙贝格算法能更精确地估计积分值。