...为(0,1),直线x=1交x轴于点b,p为线段ab上一动点,作直线pc垂直于po_百...
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发布时间：2024-10-09 02:48
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时间：2024-11-17 23:00
因为 角OPC=90°，角CPN=90-角OPM
所以 角OPM=角PCN；
因为ΔPCN和ΔPMO都是直角三角形，所以角CPN=角POM。
因为线段PM与OB平行，ΔAPM与ΔABO相似，
所以|PM|/|BO|=|AM|/|AO|，又有|BO|=|AO|=1，
得到|AM|=|PM|。
由于|AM|+|MO|=|PM|+|PN|=1,
所以 |PN|=|MO|
所以ΔOPM≅ΔPCN。
（2）设P点坐标为（x,y），因为P点在第二象限，所以x<0。
因为ΔOPM≅ΔPCN，所以S(ΔOPM)=S(ΔPCN)
S(OPCB)=S(OMNB)-S(ΔOPM)-S(ΔPCN)
= S(OMNB)-2S(ΔOPM)
因为x<0, |PM|=-x,
|OM|=y=|AO|-|AM|=1-|PM|=1-(-x)=1+x。
所以 S(ΔOPM)=1/2|OM||MP|=1/2(1+x)(-x)=-1/2x(1+x)
S(OMNB)=|OM||OB|=1+x
所以
S(OPCB)= S(OMNB)-2S(ΔOPM)
=1+x+x(1+x)=1+2x+x^2=(1+x)^2（x^2表示x的平方）
所以S的表达式为S=(1+x)^2，x的取值范围是-1<x<0。
（3）ΔPBC可能成为等腰三角形的条件分为以下三种情况：
1.|PB|=|PC|; 2. |PC|=|BC|; 3. |BC|=|BP|
因为|PN|=|MN|-|PM|=1-(-x)=1+x
且 |NC|=|PM|=-x,
所以 |PC|^2=|PN|^2+|NC|^2=(1+x)^2+x^2.
因为|BN|=y，
所以 |BC|=|BN|-|NC|=y-(-x)=y+x=1+2x （(2)中已证y=1+x）
|PB|^2=|PN|^2+|BN|^2=(1+x)^2+y^2=2(1+x)^2.
Case 1.若|PB|^2=|PC|^2
则2(1+x)^2=(1+x)^2+x^2,求解得x=1+√2或x=1-√2
因为-1<x<0，所以x=1-√2时，ΔPBC为等腰三角形
若使ΔPBC为等腰直角三角形，则还需要满足条件
|PB|^2+|PC|^2=|BC|^2
即2(1+x)^2+(1+x)^2+x^2=(1+2x)^2
求解得 x=-1，即P在点B的位置，则ΔPBC不存在
Case 2. 若|BC|^2=|PC|^2
则 (1+2x)^2=(1+x)^2+x^2, 求解得 x=0或x=-1,此时不存在ΔPBC，所以这种情况不存在
Case 3. 若|BC|^2=|BP|^2
则 (1+2x)^2=2(1+x)^2 ,求解得x=√2/2或x=-√2/2，因为-1<x<0，所以x=-√2/2,此时存在ΔPBC为等腰三角形
若使ΔPBC为等腰直角三角形，则还需要满足条件
|PB|^2+|BC|^2=|PC|^2
即2(1+x)^2+(1+2x)^2=(1+x)^2+x^2 ,
可化简为3x^2+3x+1=0，无解。
所以不存在等腰直角三角形ΔPBC。
综上所述，当x=1-√2或x=-√2/2时，ΔPBC为等腰三角形，ΔPBC不可能为等腰直角三角形。
