如何辨别正定和半正定和负定。
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发布时间：2022-05-07 11:41
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热心网友
时间：2022-07-15 21:24
1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为
正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。
3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
二、判定一个矩阵半正定：
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。
三、负定矩阵判定：
1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。
2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。
4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。
扩展资料：
正定性
n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量
对应的二次型:
若Q>0就称A为正定矩阵。若
Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵
。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于
0，奇数阶顺序主子式小于
0。
实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；
参考资料：搜狗百科-矩阵
参考资料：搜狗百科-半正定矩阵
参考资料：搜狗百科-负定矩阵
热心网友
时间：2022-07-15 22:42
如果是正定矩阵，那么矩阵的特征值全部为正！
如何辨别正定和半正定和负定：
一．
定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)
为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x
0都有
＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
＜0（≤
0），
则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E
就是正定矩阵。
二．
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的
n
个特征值全是正数。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在
n阶可逆矩阵U使
；进一步有
（B为正定（半正定）矩阵）。
4．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的
n
个顺序主子式全大于零。
三．
负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3．
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
