...3,0)和点B(1,0)两点,且圆心C在直线y=x+1上.(1)求圆C的标准方程.(2...
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发布时间：2024-10-11 16:31
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时间：2024-11-11 21:24
由题意列方程组， (-3-a) 2 + b 2 = r 2 (1-a) 2 + b 2 = r 2 b=a+1 ，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圆的方程为：（x+1） 2 +y 2 =4
（2）设N（x 1 ，y 1 ），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得 x 1 +3 2 =x y 1 +4 2 =y ? x 1 =2x-3 y 1 =2y-4
∵N在圆C上，∴（2x-2） 2 +（2y-4） 2 =4，
即（x-1） 2 +（y-2） 2 =1，
∴点G的轨迹方程是（x-1） 2 +（y-2） 2 =1．
（3）设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b
由 (x+1 ) 2 + y 2 =4 y=x+b ?2 x 2 +(2b+2)x+ b 2 -3=0? x 1 x 2 = b 2 -3 2 ①
且 △=4(b+1 ) 2 -8( b 2 -3)＞0?1- 2 ＜b＜1+ 2
同理可得： y 1 y 2 = (b-1) 2 -4 2 ②；
∵以PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，把①②代入化简得，b 2 -b-3=0
解得， b= 1± 13 2 ；
∴经检验存在两条这样的直线l： y=x+ 1± 13 2
