求函数f(x)=[X^3-3X]的绝对值在区间[0,a]的最大值
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发布时间：2024-10-11 16:38
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时间：2024-11-18 01:11
从原方程可得：
f(x)=3x-x^3
[x<=-3^(1/3)]
(1)
f(x)=x^3-3x
[-3^(1/3)<=x<=0]
(2)
f(x)=3x-x^3
[0<=x<=3^(1/3)]
(3)
f(x)=x^3-3x
[x>=3^(1/3)]
(4)
现要求的是[0,a]，即a>0的区域，故只要考虑(3)、(4)
则当0<=x<=3^0.5时f'(x)=3=3x^3
当f'(x)=0
时，x=1
则当x=1时有最大值f(1)=3*1-1^3=2
当x>=3^0.5
时f'(x)=3x^2-3>0，
`即当x=3^0.5有最小值0，且当x=2时f(x)f(2)=2^3-3*2=2
（用试根法求得）
所以：
当0<=a<=1时，f(x)在[0,a]上最大值=2a-a^3
（因1<3^0.5)
当1<=a<=2时，f(x)在[0,a]上最大值=2
当a>=2时，f(x)在[0,a]上最大值=a^3-3a
