最小均方误差求协方差

发布网友发布时间：2024-10-10 18:36

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最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）是一种用于估计信号的方法。在给定一个量测信号和一个待估计信号的情况下，MMSE会计算出最小化两者之间均方误差的最优估计值。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x,y)，均值分别为μx和μy，方差分别为σx^2和σy^2。它们的协方差可以通过以下公式计算：
Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]
其中E表示期望值。但是，如果我们不知道X和Y的概率分布，我们无法直接计算它们的期望，因此需要使用MMSE来估计它们的协方差。
具体来说，我们可以用MMSE来估计X和Y的条件期望值E[X|Y]和E[Y|X]，然后用它们来计算它们的协方差。这个过程可以通过贝叶斯公式实现：
E[X|Y] = μx + Cov(X,Y) / σy^2 * (Y - μy)
E[Y|X] = μy + Cov(X,Y) / σx^2 * (X - μx)
然后，我们可以使用这两个条件期望值来计算X和Y的协方差：
Cov(X,Y) = E[X*Y] - E[X]*E[Y]
= E[E[X*Y|Y]] - E[X]*E[Y]
= E[Y*(μx + Cov(X,Y) / σy^2 * (Y - μy))] - μx*μy
通过迭代求解，可以得到X和Y的协方差的最优估计值。