通俗易懂:什么是正交矩阵
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发布时间：2024-10-10 22:36
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时间：2024-11-19 20:15
一个正交向量组是由正交向量按照列向量的形式组成的矩阵。这些向量两两相互垂直，即任意两个向量点乘的结果为0。例如，假设我们有四个向量，它们组成了一个正交向量组。
正交基是构成向量空间的向量组，其中向量彼此线性无关，并且可以通过它们的线性组合表示整个向量空间中的任何向量。如果一个正交向量组的向量长度均为1，那么它被称为标准正交基。
将向量组转换为矩阵后，我们可以通过矩阵的角度重新审视正交向量组的概念。例如，矩阵的行向量和列向量可以分别被视为正交向量组的行和列向量。
一个矩阵被称为正交矩阵，当且仅当它满足以下三个条件：它是一个方阵，其每一列向量相互垂直，并且每一列向量的长度为1。例如，考虑一个方阵，如果其每一列向量都满足这些条件，那么它就是一个正交矩阵。
正交矩阵的数学定义是：若一个方阵是正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵。另一种定义是，一个方阵是正交矩阵，当且仅当它的列向量是两两正交的单位向量。
正交矩阵的数学性质包括：正交矩阵的逆等于其转置，行列式的取值只有1或-1，行向量和列向量两两正交，以及保持向量的长度和角度不变。
正交矩阵可以通过坐标变换实现坐标系的旋转、投影或镜像。当我们将正交矩阵视为一组标准正交基时，可以将任意一组基下的坐标转换为这组基下的坐标。例如，假设我们有一个正交矩阵和一组坐标，我们可以通过简单的计算将坐标转换为新坐标。
正交矩阵的映射保持了向量的长度和角度不变，意味着它不会改变向量之间的相对长度和角度。例如，如果两个向量之间的夹角为特定值，那么在正交矩阵的作用下，这两个向量之间的夹角仍然保持不变。
正交变换在坐标变换和矩阵映射中扮演着重要的角色。它提供了对空间进行旋转、投影或镜像操作的数学工具。例如，我们可以通过正交矩阵将坐标从一个基转换到另一个基，或改变向量的方向和长度。
