矩阵可对角化条件,特征向量线性无关条件
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发布时间：2024-10-10 23:00
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时间：2024-10-11 00:02
证明：
首先证明条件1，假设矩阵 [公式] 拥有各不相同的特征值 [公式]，它们各自对应的特征向量分别为 [公式]。采用反证法，假设这些特征向量中存在线性相关的向量，那么我们假设其中的极大线性无关组为 [公式]，并称之为基。
假设任意与基线性相关的特征向量[公式]，根据特征向量的定义有：
[公式]
将[公式] 代入上式，可以得到：
[公式]
由于[公式]是极大线性无关组，必须要求：
[公式]
与特征值互异的假设矛盾，因此条件1满足时特征向量必定线性无关。
条件2中的代数重数指的是：
[公式]
则称[公式]的代数重数为 [公式]。这一重复过 [公式] 次的特征值还有一个几何重数，数值上等于：
[公式]
因为特征向量是使用[公式]来求解的，所以几何重数恰好等于解空间的维数，也就代表了通解为几何重数个线性无关的向量的线性组合。如果几何重数也等于 [公式]，那么 [公式] 对应了 [公式] 个线性无关的向量。
如果矩阵的所有特征值都满足几何重数等于代数重数，就一定有 [公式] 个线性无关的特征向量(细心的伙伴可能会问，可不可能 [公式] 的特征向量与 [公式] 的特征向量线性相关呢？ [公式] 实际上并不会，用证明条件1的方法可以证明)。
(证毕)
最后来看一个最简单的特征值不互异，但是却可以对角化的例子：
[公式]
这是单位矩阵，它只有一个代数重数和几何重数都为[公式]的特征值 [公式]。但它本身就是对角矩阵，如果求解 [公式] 会发现解空间充满了整个 [公式]
PS: 矩阵是否可以对角化，特征值和特征向量的情况如何与矩阵的秩没有直接关系，切勿混淆。
