已知定义域在非零实数集上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-3...
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发布时间：2024-10-11 07:05
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时间：2024-11-14 06:48
②求满足f（x）＞0的x的集合
③若g（x）=根号2 αcos（x+π/4）+1-α（α∈R），x∈[3π/2,2π]。是否存在正实数α，使得f（g（x））＞0恒成立？若存在，求出α的取值范围，若不存在，请说明理由
(1)解析：∵定义域在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减
∴函数f(x)关于原点对称，在（0，+∞）上单调递减
∵f(-3)=0，∴f(3)=0
(2)解析：由题意可知：
X∈(-∞,-3]时，f(x)>0，X∈(0,3]时，f(x)>0
∴满足f（x）＞0的x的集合为(-∞,-3] U(0,3]
(3)解析：∵g(x)= √2acos(x+π/4)+1-a（a∈R），x∈[3π/2,2π]
令g’(x)= √2asin(x+π/4)=0
解得x1=2kπ-π/4，x2=(2k+1) π-π/4
g’’(x)= -√2acos(x+π/4)
当a>0时，g”(x1)<0，g”(x2)>0，函数g(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值；
当a<0时，g”(x1)>0，g”(x2)<0，函数g(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值；
∵x∈[3π/2,2π]
∴当a>0时，函数g(x)在7π/4处取极大值g(7π/4)=(√2-1)a+1；
g(3π/2)= g(2π)=√2aαcos(7π/4)+1-a=1
令(√2-1)a+1<=3==>a<=2/(√2-1)
∴当0<a<2(√2+1)时，满足f(g(x))＞0恒成立；
当a<0时，函数g(x)在7π/4处取极小值；
令(√2-1)a+1>0==>a>-(√2+1)
∴当-(√2+1)<a<=0时，满足f(g(x))＞0恒成立；
综上，当-(√2+1)<a<2(√2+1)时，满足f(g(x))＞0恒成立
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时间：2024-11-14 06:41
