已知函数f(x)=x²+ax+3,当x∈【-2,2】时,f(x)≥a,求a的最小值 ps...
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发布时间：2024-10-11 22:58
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时间：2024-10-15 02:35
对于含有待定字母的二次函数题，先分析所给函数已知的性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴交点等。就本题而言，函数y=x²+ax+3是开口向上、与y轴交于(0, 3)、对称轴是直线x=-a/2的二次函数。
由于对称轴与所给区间[-2, 2]位置关系不确定，故需要对对称轴进行分类讨论，即围绕a的取值展开讨论：
若-a/2≤-2即a≥4，对称轴直线位于[-2, 2]左侧，函数在该区间上单调递增。
最小值是f(-2)=7-2a≥a，解得 a≤7/3，这与前提a≥4矛盾；
若-2<-a/2≤2即-4≤a<4，对称轴位于该区间内，函数在该区间内先减后增，
函数最小值是f(-a/2)=(12-a²)/4≥a，解得-6≤a≤2，考虑到前提，得到a的范围是-4≤a≤2；
若-a/2>2即a<-4，对称轴直线位于区间右侧，函数在给定区间上单调递减，
最小值是f(2)=7+2a≥a，解得a≥-7,考虑到前提，得到a的范围是-7≤a<-4
综上所述，符合要求的a的范围是[-7, -4)U[-4, 2]=[-7, 2]
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