...过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别...
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发布时间：2024-10-11 22:58
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时间：2024-10-15 02:21
设直线AB的解析式为y=kx+2，
由y＝kx+2y＝ax2，
得ax2-kx-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2
则x1，x2为方程ax2-kx-2=0的两个实数根
∴x1+x2=ka，x1?x2=-2a，
∴y1?y2=ax12?ax22=a2（x1?x2）2=a2?（-2a）2=4．
∴A、B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值；
（2）解法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N（如图）
∵∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BON=90°
又∠OBN+∠BON=90°
∴∠AOM=∠OBN
∴Rt△AOM∽Rt△OBN
∴AMON＝MONB（注：写为|AM||ON|＝|MO||NB|同样正确）
∴-y1x2=x1y2
∴-x1?x2=y1?y2
∴-（-2a）=4
a=12
∴所求抛物线的解析式为y=12x2．
解法二：当直线AB平行于x轴时（如图），
由抛物线的对称性可知，A、B两点关于y轴对称
∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B（2，2）
将x=2，y=2代入y=ax2
得a=12
∴所求抛物线的解析式为
y=12x2；
（3）作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F（如图）
∴AE=MO，FB=ON
∵S△AOB=S△AOP+S△BOP
=
