已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ>...
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发布时间：2024-10-11 22:58
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时间：2024-10-15 02:20
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判别式△=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=x2，则易得切线AM，BM方程分别为y=（12）x1（x-x1）+y1，y=（12）x2（x-x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=x1+x22=2k，yo=x1x24=-1，即M（x1+x22，-1）
从而，FM=（x1+x22，-2），AB（x2-x1，y2-y1）
FM•AB=12（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=12（x22-x12）-2[14（x22-x12）]=0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=12|AB||FM|．
∵AF=λFB(λ＞0)，
∴（-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1），即-x1=λx21-y1=λ(y2-1)，
而4y1=x12，4y2=x22，
则x22=4λ，x12=4λ，
|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=14x21+14x22+2=λ+1λ+2=（λ+1λ）2．
于是S=12|AB||FM|=12（λ+1λ）3，
由λ+1λ≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．
