y(3x^3-ay)dx-x(3x^2-2ay)dy=0通解???
发布网友
发布时间：2024-10-04 18:48
共1个回答
热心网友
时间：2024-12-10 22:47
(3x
y-ay
)dx+(2axy-3x
)dy=0的通解
解：
p/
y=3x
-2ay；
q/
x=2ay-9x
；二者不相等，因此原方程不是全微分方程。
但因为
(1/p)(
p/
y-
q/
x)={1/[y(3x
-ay)]}[(3x
-2ay)-(2ay-9x
)]
={1/[y(3x
-ay)]}(12x
-4ay)=4/y是y的函数，因此有积分因子μ：
μ=e^[-∫(4/y)dy]=e^(-4lny)=e^[lny^(-4)]=y^(-4)=1/y^4
用μ=1/y^4乘原方程的两边得：
(3x
/y
-a/y
)dx+(2ax/y
-3x
/y^4)dy=0.............(1)
(1)是全微分方程。
因为此时
p/
y=-9x
/y^4+2a/y
=
q/
x=2a/y
-9x
/y^4
故原方程的通解u(x，y):取xo=0，yo=0，
u(x，y)=∫【0，x】(3x
/y
-a/y
)dx=x
/y
-ax/y
=c
【检验:】
(
u/
x)dx+(
u/
y)dy=(3x
/y
-a/y
)dx+(-3x
/y^4+2ax/y
)dy
正好是方程(1)的左边，故通解正确。
(1)的通解就是原方程的通解。
