在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.(1)如图,在△ABC...

发布网友发布时间：2024-10-04 18:36

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热心网友时间：2024-10-21 16:30

解答：（1）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=3b
∴a2=3b2=b（b+c）

（2）解：关系式a2=b（b+c）仍然成立．
法一：证明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2R
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R2sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R2sinB（sinB+sin3∠B）
=4R2sinB（2sin2BcosB）
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b（b+c）

（3）解：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）?（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B
当c＞a＞b及a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
边长为4，5，6的三角形为所求．

热心网友时间：2024-10-21 16:28