已知f(x)= x+ sinX在(- oo,0]上有界,求证f(x)在整个x轴上有界。?
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发布时间：2024-10-04 14:15
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时间：2024-11-09 21:48
如下：
这个函数定义域（-oo,+00)，在给定的任意a,b(a＜b）,f(x)在[a,b]区间内连续，肯定是有界的，所以只需判断两端极限就行，趋向于负无穷时，lim(xsinx)/(1+x²）=lim(sinx+xcosx)/(2x)=lim [(sinx)/（2x）+(cosx)/2]，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤-1/(2x)+1/2≤1/2+1/2=1，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥1/（2x）-1/2≥-1/2-1/2=-1。
趋向于正无穷时，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤1/（2x)+1/2≤1/2+1/2=1，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥-1/（2x)-1/2≥-1/2-1/2=-1，所以这个函数时有界的由于分母在x轴上没有零点，所以f(x)在任意有限区间上都连续，从而在任意的有限区间上都有界。所以只要证明当x→∞时f(x)收敛，那么根据函数收敛的局部有界性，得出f(x)在整个x轴上收敛。
函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
