已知数列{an}, a1=a2=2.an+1=an+2an-1(n大于等于2) 求:数列an的通项
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发布时间：2024-10-04 03:24
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时间：2024-10-30 01:58
则b(n+1)=a(n+1)-2a(n)
故b(n+1)=-1*b(n)构成等比数列
则b(n)=b(2)*(-1)^(n-2)
代回至a讨论,b(2)=a(2)-2a(1)=-2
故a(n)-2a(n-1)=-2*(-1)^(n-2)=2*(-1)^(n-1)
继续分解
设a(n)+k(n)=2[a(n-1)+k(n-1)]
故2k(n-1)-k(n)=2*(-1)^(n-1)，观察知k(n)与k(n-1)应与b比例一致，-3k(n)=2*(-1)^(n-1)
故解得k(n)=-(2/3)(-1)^(n-1)=(2/3)(-1)^n
同样，令c(n)=a(n)+k(n)
则c(n)=2c(n-1)=c(1)*2^(n-1)，而c(1)=2-2/3=4/3
故a(n)=c(n)-k(n)=4/3*2^(n-1)-(2/3)(-1)^n=(2/3)*(2^n - (-1)^n)
题目主要问题在于对二阶差分数列的整理，通用做法是若存在标准化格式
a(n)+p*a(n-1)+q*a(n-2)=0
则方程x^2+px+q=0的解x1，x2即为划分系数
即a(n)+x1*a(n-1)=-x2*(a(n-1)+x1*a(n-2))//由维达定理显然可证
经上面处理后可得a(n)+p*a(n-1)+c=0或a(n)+p*a(n-1)+c(n)=0的形式，
若仅存在与n无关的c，则a(n)+p*a(n-1)+c=0可变为a(n)+c1=-p*(a(n-1)+c1)，其中c1=c/(1+p)
若为a(n)+p*a(n-1)+c(n)=0形式，则需由经验将c(n)转换为c1(n)+p*c1(n-1)形式，然后依次按等比通项可直接计算结果。
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时间：2024-10-30 01:58
[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=-1
[a(n-1)-2a(n-2)]/[a(n-2)-2a(n-3)]=-1
.....
[a3-2a2]/[a2-2a1]=-1
以上各项相乘即可得到第4步。后面用的是构造法。
