已知a,b,c为正数求证:(a^3/bc)+(b^3/ac)+(c^3+ab)≥a+b+c

发布网友发布时间：2024-10-04 02:15

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热心网友时间：2024-12-02 16:40

证明：∵(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)≥0
∴a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2
∴a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)=(2a^4+2b^4+2c^4-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2)/2
≥(a^4+b^4+c^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2)/2
=((a^2-bc)^2+(b^2-ac)^2+(c^2-ab)^2)/2≥0
∴a^4+b^4+c^4≥abc(a+b+c)
∴(a^4+b^4+c^4)/(abc)≥a+b+c
∴a^3/(bc)+b^3/(ac)+c^3/ab≥a+b+c

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