设A.B均为n阶方阵,A可对角化且A的任意特征向量均为B的特征向量,证明存 ...
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发布时间：2024-10-04 01:34
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因为A可对角化, 所以A有n个线性无关的特征向量 α1,...,αn, 对应的特征值为a1,...,an 令 P=(α1,...,αn), 则 P^-1AP = diag(a1,...,an).由已知, α1,...,αn 也是B的特征向量, 设对应的特征值为 b1,...,bn 故有 P^-1BP = diag(b1,...,bn)
...并且,矩阵A的特征向量均是矩阵B的特征向量(注:A,B的特征值未必相同...由题意可知A,B可同时对角化，即存在可逆矩阵P使得（注：此处P即为A,B特征向量作为列构成的n阶方阵）P^(-1)AP=D1，P^(-1)BP=D2 D1，D2均为对角阵，由此结论显然。
...必要条件是A的任意一个特征向量都是B的特征向量?必要性如下:A可以对角化, A=S*L*S^-1 其中S是特征向量组成的矩阵, L是对角阵 AB=BA ===> S*L*S^-1*B = B*S*L*S^-1 ===> L*C = C*L 其中 C=S^-1*B*S 因为L是对角矩阵且每个元素都不相同, 很容易看出来C是必须是对角矩阵(你就乘进去,一个元素一个元素地对比)充分性...
设A,B均为n阶Hermite矩阵,证明存在n阶酉矩阵U使得U^H AU与u^H BU均...必要性显然，充分性的话，只要注意到若u是A对应于特征值a一个特征向量,则Bu也是应于特征值a一个特征向量【因为 A(Bu)=BAu=Bau=aBu】 所以A的特征子空间是B-不变的，所以可以把B限制在A的特征子空间上，那么它们就有一个公共的特征向量，归纳法，可以得到结论：A,B可以同时上三角化，又因为A，...
设A,B为n阶方阵,且A+B+AB=0.证明 1 A与B的特征向量是公共的; 2 A相似...显然A+B+AB+E=E，故(A+E)(B+E)=E，故A+E于B+E互逆，故他们可交换。那么x是A的特征向量当且仅当他是A+E的特征向量。故A，B的特征向量是公共的。A+E可以对角化的充要条件是A可以对角化。故A，B可以同时对角化。
...对角化,a是它的一个特征值,xo是它对应的特征向量,证(aE-A)x=xo无...假设T^(-1)AT=D是n阶对角矩阵，那么D的特征值就一一对应于A的特征值，D的特征向量就是T^(-1)（左）乘A的特征向量，这可以直接看出来：Ax=ax推出D (T^(-1)x) = a (T^(-1)x)。因此u_0=T^(-1) x_0是D的特征向量，对应的特征值是a。假如 (aE-A)x=x_0的话，那么u=T^(-...
若n阶矩阵A可对角化,那A的秩即为非0特征值的个数,这句话对吗,逆过来...原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。既然A可对角化，相似变换不改变秩，把A对角化即得结论。 零矩阵（当然必须是方阵）也算是对角矩阵。A可对角化时，存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(...
请问这道题“若n阶方阵A可对角化。。。”,这道题的B选项也是一个推论...B选项不全面，方阵A可以有n个不同的特征值也可以不用有n个不同的特征值（可以重根，k重根有且仅有k个线性无关的特征向量，A就可相似对角化）。n阶方阵可对角化是对应有n个线性无关的特征向量。而不是强调特征值是不是n个都不相同。
n阶方阵可对角化的判定不同特征值对应的特征向量必定线性无关，证明如下：[公式][公式][公式][公式][公式][公式][公式]基于此结论与第一个判定，我们可以推导出：如果A为数域P上的n阶方阵，且A有n个互异的特征值，那么A必定可以对角化。3. [公式]有如下命题：[公式]证明：[公式][公式][公式][公式][公式][公式][...
...对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量?证明：∵ n阶矩阵A可以对角化，由对角化的定义，一定存在可逆阵P使得P^-1AP=Λ，∴ Λ为n阶对角阵且对角元素均为A的特征值，对于这n个特征值中的每一个，一定可以从特征多项式中找到属于自己的特征向量，∵ 特征向量彼此属于不同的特征值，∴ 这n个特征向量线性无关，∴ n阶矩阵A能对角化 → ...
