用数学归纳法证明:(a1+a2+…+an)^2=a1^2+a2^2+…a3^3+2(a1a2+^

发布网友发布时间：2024-10-04 06:08

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热心网友时间：2024-10-21 11:34

解:(1).当n＝1时,左边＝a1^2,右边＝a1^2,命题成立.
(2).假设当n＝k时命题成立，即
:(a1+a2+…+ak)^2=a1^2+a2^2+…ak^2+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak]。…………………①
那么．当n＝k＋1时，
〔(a1＋a2＋…＋ak)＋a(k+1)〕^2
＝(a1＋a2＋…＋ak)＾2＋a(k+1)^2＋2a(k+1)(a1＋a2＋… ＋ak)…………………②
把①式代入②式得．
〔(a1＋a2＋…＋ak)＋a(k+1)〕^2
＝a1^2+a2^2+…ak^2+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak]＋a(k+1)^2 ＋2a(k+1)(a1＋a2＋…＋ak)
＝〔a1^2+a2^2+…ak^2＋a(n+1)^2]+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak+aka(k+1)]
所以，当n＝k+1时命题也成立．

综合上述可知，(a1+a2+…+an)^2=a1^2+a2^2+…an^2+2(a1a2+a1a3+…an-1an)对任意非零自然数n都成立．

热心网友时间：2024-10-21 11:31

当n=2,等式成立
设当n=k,(a1+a2+…+ak)^2=a1^2+a2^2+…ak^2+2(a1a2+a1a3+…ak-1ak)。
则当n=k+1,(a1+a2+…+ak+ak+1)^2=(a1+a2+…+ak)^2+2(ak+1)(a1+a2+…+ak)+(ak+1)^2=a1^2+a2^2+…ak^2+2(a1a2+a1a3+…ak-1ak)+2(ak+1)(a1+a2+…+ak)+(ak+1)^2=a1^2+a2^2+…ak+1^2+2(a1a2+a1a3+…ak-1ak)

热心网友时间：2024-10-21 11:30

热心网友时间：2024-10-21 11:31