数学归纳法证明(a1+a2+...+an)^2=a1^2+a2^2+...+an^2+2(a1a2+a1a3+...

发布网友发布时间：2024-10-04 06:08

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热心网友时间：2024-10-21 11:25

当n=2时，(a1+a2)^2=a1^2+a2^2+2a1a2，等式成立
设n=k时,则
(a1+a2+....+ak)^2
=a1^2+a2^2+....+ak^2+2(a1a2+a1a3+.....+a(k-1)*ak).(k=>2)

当n=k+1时,
(a1+a2+....+ak+a(k+1))^2
=a(k+1)^2+2(a1+a2+....+ak)*a(k+1)+(a1+a2+....+ak)^2

因为(a1+a2+....+ak)^2
=a1^2+a2^2+....+ak^2+2(a1a2+a1a3+.....+a(k-1)*ak).(k=>2)

所以a(k+1)^2+2(a1+a2+....+ak)*a(k+1)+(a1+a2+....+ak)^2
=a1^2+a2^2+....+ak^2+a(k+1)^2+2(a1+a2+....+ak)*a(k+1)+2(a1a2+a1a3+.....+a(k-1)*ak)
=a1^2+a2^2+....+ak^2+a(k+1)^2+2(a1a2+a1a3+.....+a(k-1)*ak+a1*a(k+1)+a2*a(k+1)+...+ak*a(k+1))

所以当n=k+1时也成立，
原等式也成立.

热心网友时间：2024-10-21 11:22