为什么微积分基本定理揭示了积分和黎曼积分的本质联系

发布网友发布时间：2024-10-03 19:41

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热心网友时间：2024-11-24 07:24

定积分的正式名称为黎曼积分，其核心思想在于将函数图像用平行于y轴的直线与x轴分割成无数个矩形，将区间[a,b]上的矩形面积累加，以求得函数在该区间的面积。定积分的上下限即为区间的两个端点。定积分与积分看似并无联系，但实际上，它们间有着内在的密切关系。定积分的定义，即无限细分并累加，与积分的定义——求函数原函数，看似相悖，实则在数学理论的支持下，它们紧密相连。

这个关键理论是牛顿-莱布尼兹公式，它揭示了积分与黎曼积分之间的本质联系。公式表述为：若f'(x)=f(x)，则∫f(x) dx (上限a下限b)=f(a)-f(b)。这里的x具有双重意义，一是积分上限，二是被积函数的自变量。在定积分中，被积函数的自变量为定值时并无实际意义，故通常将被积函数的自变量替换为t，以清晰表达：φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt。牛顿-莱布尼兹公式的文字表述是，定积分的值等于上限与下限在原函数值的差。这一理论不仅解开了积分与黎曼积分间的关系之谜，亦凸显其在微积分学乃至整个高等数学中的重要性，因此，牛顿-莱布尼兹公式被尊称为微积分基本定理。