线性代数之——正定矩阵
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发布时间：2024-10-03 20:19
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时间：2024-10-03 21:33
我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵。然而，计算特征值是一项任务，当我们真正需要它们时我们可以进行计算。但如果我们只想知道它们是否为正的，我们有更快的方法。
1. 正定矩阵的判断
首先，由于矩阵是对称的，所有的特征值自然都是实数。让我们从一个 2×2 的矩阵开始。
公式
A 的特征值是正的当且仅当公式 并且公式。
如果 2×2 矩阵的特征值为公式，公式，那么它们的乘积等于行列式，公式，它们的和等于矩阵的迹，公式，因此公式和公式都必须是正的。
A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。
这连接了线性代数的两大部分，正的特征值意味着正的主元，反之亦然。而且，主元往往比特征值计算得更快。
公式
所以，如果特征值大于零，公式对于所有的特征向量也大于零。事实上，不仅仅是特征向量，针对任意非零向量公式，上式也同样成立。
A 是正定的，如果有公式对任意非零向量都成立。
从这个定义中我们可以得出，如果公式是对称的正定矩阵，那么公式也是。
如果公式的列是不相关的，那么公式是正定的。
公式
因为公式的列是不相关的，所以针对任意非零向量公式，公式。
当一个对称的矩阵具有下列五个属性之一，那么它一定满足所有的属性。
2. 半正定矩阵
经常情况下，我们会在正定的边缘，行列式为零，最小的特征值为零，这些在边缘的矩阵被称为半正定矩阵。
公式 的特征值为 5 和 0，左上行列式为 1 和 0，它的秩为 1，可以被分解为具有相关列的矩阵公式。
如果将元素 4 增加一个任意小的数字，那么矩阵将会变成正定的。同样地，公式也可以写成公式的形式，但是公式的列肯定是相关的。
3. 第一个应用：椭圆公式
针对椭圆方程公式，我们有：
公式
将公式分解为公式，我们得到：
公式
椭圆方程也可以重写为：
公式
可以看到，方程的系数是两个特征值 9 和 0，而在平方内部则是两个特征向量公式和公式。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向，这也就是为什么公式被称为主轴定理，特征向量指出了坐标轴的方向，特征值则指出了长度。
将椭圆排好后，较大的特征值 9 给出了短半轴的长度公式，较小的特征值 1 给出了长半轴的长度公式。在公式系统中，坐标轴沿着公式特征向量的方向，而在公式系统中，坐标轴沿着公式特征向量的方向。
