...抛物线经过 A (4,0), B (1,0), C (0,-2)三点. (1)求出抛物线的解析式...
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发布时间：2024-10-03 20:13
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时间：2024-10-04 00:24
试题分析：（1）∵该抛物线过点 C (0,-2)，∴可设该抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx -2．
将 A (4,0), B (1,0)，代入，得 解之
∴此抛物线的解析式为 ．
（2）存在！如图，设 P 点的横坐标为 m ，则 P 点的纵坐标为 ，
当1＜ m ＜4时， AM =4- m ， ．又∵∠ COA =∠ PMA =90°,
∴① 当 时，△ PMA ∽△ COA ，即 ．
解之 m 1 ="2," m 2 =4（舍去）， ∴P(2,1)．
② 当 时，△ APM ∽△ CAO ，即 ．
解之 m 1 ="4," m 2 =5（均不合题意，舍去）
∴当1< m <4时， P (2,1) 类似地可求出, 当 m >4时， P (5,-2)
当 m <1时， P (-3,-14)
综上所述，符合条件的点 P 为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)
（3）如图，设 D 点的横坐标为t(0<t<4)，则 D 点的纵坐标为 ．
过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ．由题意，可求得直线 AC 的解析式为: ，
E 点的坐标为 ．∴ =
从而，S △ DAC = =- t 2 +4 t=- ( t -2) 2 +4．∴当 t =2时，△ DAC 面积最大．∴ D (2,1)
点评：本题考查抛物线的知识，要求考生根据抛物线的概念和性质来解本题
