综合法求不等式若a,b,c>0且a+b+c=1求证(a分之一减1)(b分之一减一)(c...

发布网友 发布时间：2024-10-04 00:54

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热心网友 时间：2024-10-19 10:08

(1/a)-1=[(a+b+c)/a]-1=(b/a)+(c/a).
同理，
(1/b)-1=(a/b)+(c/b);
(1/c)-1=(a/c)+(b/c).
又由均值不等式得：
(b/a)+(a/b)≥2
(c/a)+(a/c)≥2
(b/c)+(c/b)≥2,相乘得
(a分之一减1)(b分之一减一)(c分之一减一)
≥2×2×2=8

热心网友 时间：2024-10-19 10:07

(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=[(a+b+c)/a-1]…点到为止，明白了吗？

热心网友 时间：2024-10-19 10:08

(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) >= 8
(1 - a) * (1 - b) * (1 - c) >= 8abc
由于a+b+c=1
上式化为：
(b+c)(a+c)(a+b)>=8abc
b+c >= 2* 根号下（bc）
a+c >= 2* 根号下（ac）
a+b >= 2* 根号下（ab）
所以(b+c)(a+c)(a+b)>=8abc

热心网友 时间：2024-10-19 10:16

(1/a)-1=[(a+b+c)/a]-1=(b/a)+(c/a).
同理，
(1/b)-1=(a/b)+(c/b);
(1/c)-1=(a/c)+(b/c).
又由均值不等式得：
(b/a)+(a/b)≥2
(c/a)+(a/c)≥2
(b/c)+(c/b)≥2,相乘得
(a分之一减1)(b分之一减一)(c分之一减一)
≥2×2×2=8

热心网友 时间：2024-10-19 10:11

(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=[(a+b+c)/a-1]…点到为止，明白了吗？

热心网友 时间：2024-10-19 10:15

(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) >= 8
(1 - a) * (1 - b) * (1 - c) >= 8abc
由于a+b+c=1
上式化为：
(b+c)(a+c)(a+b)>=8abc
b+c >= 2* 根号下（bc）
a+c >= 2* 根号下（ac）
a+b >= 2* 根号下（ab）
所以(b+c)(a+c)(a+b)>=8abc