已知a>0 b>0 c>0 且a+b+c=1求证(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=1...

发布网友发布时间：2024-10-04 00:54

共3个回答

热心网友时间：2024-10-19 00:56

楼上证明过程极不严谨，不能作为证明依据，只能是猜想最小值的方法。具体证明如下：

由柯西不等式
(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=(1+1/a+1/b+1/c)^2

再有柯西不等式：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9

上式也即1/a+1/b+1/c>=9

于是(1+1/a+1/b+1/c)^2>=(1+9)^2=100
所以(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
上式即(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=100/3

得证，，

热心网友时间：2024-10-19 00:58

首先由Cauchy不等式得到
3(x^2+y^2+z^2)=（1+1+1）(x^2+y^2+z^2) >=(x+y+z)^2
(x+y+z)(1/x+/y+1/z)>=9

所以
1/a+1/b+1/c>=9
且

(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2/3>=10^2/3=100/3

热心网友时间：2024-10-19 00:54

由轮换对称性知a=b=c=1/3时，(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2最小。
此时(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2=3（3+1/3)^2=100/3
(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=100/3

已知a&gt;0 b&gt;0 c&gt;0 且a+b+c=1求证(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2&gt;=1...

已知a>0 b>0 c>0 且a+b+c=1求证(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=1...