阿基米德公理证明

发布网友发布时间：2024-10-04 00:55

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热心网友时间：2024-10-18 20:01

要证明阿基米德公理（性质），我们采用反证法。首先，假设存在两个正数c和ε，其中ε与1/c相关，且对所有自然数n，当1/c小于ε时，n大于c。这个关系可以表述为：定义1成立当且仅当定义2成立。

现在，我们来证明定义1。如果这个性质不成立，即假设存在某个正数c，没有任何一个自然数n大于它。根据正性公理，我们可以推断出对于任何自然数n，n都小于等于c，这意味着自然数集N有了上界。根据完备性公理，N必然有一个最小上界，我们将其记为b。

由于b是N的最小上界，那么b减去1/2不再是N的上界。因此，我们可以找到一个自然数n，使得n大于b-1/2，即n+1>(b-1/2)+1。这就意味着n+1大于b，这与b作为N上界的基本性质相矛盾。

因此，我们的假设——存在某个c没有满足条件的自然数n——是错误的。结论是，对于任何正数c，总会存在一个自然数n满足n大于c。这就完成了对阿基米德公理（性质）的证明。