导数本质上是什么

发布网友发布时间：2024-10-04 13:25

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热心网友时间：2024-11-07 17:43

导数是变化率，表示为 △y/△x，当 x 趋近于零时的极限值。这里的 △y 是指 f(x0+△x) 与 f(x0) 之差。理解这一点应该没有疑问。如果 △x 被替换为 -△x，那么应该将 △y 除以 2△x。只需记住 △y/△x 即可。
性质包括：
1. 唯一性：如果一个数列的极限存在，那么这个极限值是唯一的，且任何子数列的极限都与原数列的极限相等。
2. 有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。然而，一个有界的数列未必收敛。例如，数列 “1，-1，1，-1，……，（-1）^(n+1)”。
3. 与子数列的关系：数列 {xn} 与它的任何非平凡子数列要么都收敛，要么都不收敛，并且在收敛时具有相同的极限。
对定义的理解包括：
1. ε 的任意性：定义中 ε 的作用是衡量数列通项与常数 a 的接近程度。ε 越小，表示两者越接近。尽管 ε 可以是任意小的正数，但是一旦给出，就被暂时确定下来，以便通过它用函数规律来求出 N。由于 ε 是任意小的正数，所以 ε/2、3ε、ε 等也都在任意小的正数范围内，因此可以用它们的数值近似代替 ε。同时，由于 ε 是任意小的正数，我们可以限定 ε 小于某个确定的正数。
2. N 的相应性：通常情况下，N 随着 ε 的减小而增大，因此常将 N 写作 N(ε)，以强调 N 对 ε 变化而变化的依赖性。但这并不意味着 N 是由 ε 唯一确定的（例如，如果 n > N 成立，那么显然 n > N+1、n > 2N 也成立）。重要的是 N 的存在性，而不是其大小。