已知三角形ABC中,角ACB90度,角CAD30度,AC等于BC等于AD,求证BD等于CD如...
发布网友
发布时间：2024-10-04 12:25
共2个回答
热心网友
时间：2024-11-08 00:48
证明：（如图）
（证法一）作CE⊥AD DF⊥CB 垂足分别为E和F
∵∠CAD=30° AC=AD
∴∠ACD=∠ADC=75°
∠ACE=60° ∠DCE=15° ∠ DCF=90°－75°=15°
在Rt△DCE和Rt△DCF中
∠ DCF= ∠DCE=15° CD=CD（公共边）
∴Rt△DCE≌Rt△DCF
∴CE=CF
∵∠CAD=30°
∴CE=1/2AC=1/2CB=CF
即 CF=1/2CB
∴DF垂直平分CB
∴BD=CD（垂直平分线上点到线段的两个端点的距离相等）
（证法二）（如图二）
过A和B作AC和BC的垂线交于G点，则ACBG是正方形
连接DG
∵∠CAD=30°
∴∠DAG=60°
∵AD=AC
而AG=AC
∴AD=AG
∴△DAG是等边三角形（夹角是60角的等腰三角形是等边三角形）
∴BG=DG 且∠BGD=30°
∴∠GBD=∠GDB=150°÷2=75°
∴∠DBC=90°－75°=15°
而∠DCB=90°－∠ACD=90°－75°=15°
从而∠DBC=∠DCB=15°
∴BD=CD（在三角形中，等角对等边）
热心网友
时间：2024-11-08 00:45
易证 三角形CED全等于三角形CFD;
所以 CE=CF;
在直角三角形CAE中 角CAE=30，
所以CE=1/2CA=CF;
又CA=CB
所以CF =1/2BC
即：
F为BC中点
又DF垂直BC
显然 BD=CD
