原神概率论:从抽卡概率模型到更新定理
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发布时间：2024-10-04 11:05
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时间：2024-10-06 02:28
更新过程的定义如下：从零抽卡到首次抽到货的过程称为“一次抽卡”。假设在某抽卡模型中，第n次抽到货的概率为p。假设正整数随机变量X服从分布F，那么X可以表示某次抽卡中出货所需的抽卡次数。我们假设抽卡次数的期望值有限，这更符合实际情况。
考虑独立同分布于X的样本序列X1, X2, ..., 记第n次出货所需的抽卡次数为Yn，第n次出货的次数为An，则Yn和An构成了随机过程。这表明在第n次抽卡后累计出货的次数等于满足Yn小于等于n且严格大于n-1的条件。
大数定律告诉我们，一系列独立同分布、期望有限的随机变量的均值会收敛到期望。利用此定律，我们可以推导出更新定理，即随着出货次数趋于无穷大，所需抽卡次数也趋于无穷大。进一步地，通过更新定理，我们可以得出当抽卡次数足够大时，出货频率会接近出货期望的倒数。
更新定理实际上是马氏链遍历定理的一个特例。马氏链的遍历定理涉及状态空间上的函数和访问状态次数，解释了使用不变分布进行加权平均的合理性。
为验证原神抽卡模型，假设抽5星角色的期望次数为m，出货频率最终会接近1/m，而官方公布的综合概率为n。通过更新定理，我们可以得出在足够多的抽卡次数下，出货频率将趋近于出货期望的倒数，与官方数据相吻合。
深入研究概率论和随机过程的理论，可以为游戏抽卡策略提供理论支持。感兴趣的读者可参考陈大岳、章复熹老师的新书《应用随机过程》，进一步深入了解相关概念和应用。
