随机微分方程的MATLAB数值求解

发布网友发布时间：2024-10-04 10:48

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热心网友时间：2024-10-05 19:30

随机微分方程在计算物理学及其他领域具有广泛应用，涉及扩散过程、期权定价等。数值求解随机微分方程与常微分方程的解法类似，但需引入连续时间随机过程的概念。一个示例是Wiener随机过程，其特点是在给定时间t，随机变量遵循特定分布且不同时间点的随机变量相互独立，路径连续。Wiener过程常用来模拟环境中的随机因素，如布朗运动。

典型的扩散过程可以通过随机微分方程描述，使用积分方程进行表示。这种微分方程描述了过程的不确定性，实际上代表了一个积分过程，其中的Ito积分反映了随机变化。布朗步长微分形式，即白噪声，对于过程的不确定性进行了建模。

为了求解随机微分方程，引入了Ito引理，它以一种独特的链式法则形式描述了随机变量在变化过程中的行为。Euler-Maruyama方法是求解这类方程的一种数值解法，通过迭代计算近似值。

使用MATLAB进行随机微分方程求解的示例代码如下，以几何布朗运动为例：

% 参数定义
mu = 0.06;
sigma = 0.04;
y0 = 5;
N = 100000;
dt = 1/252;
sigma = sqrt(dt) * sigma;
t = 0:dt:252;

% 生成随机数
r = randn(1,N) * sigma * sqrt(dt) + dt * mu;
y = y0 * exp(mu*dt + r);
plot(t, y);

该代码展示了模拟的几何布朗运动过程，展示了不同时间步的位置分布。

另一个例子是Langevin方程，同样使用MATLAB求解并可视化不同参数下的运动分布：

% 参数定义
mu = 0;
sigma = 1;
y0 = 1;
N = 100000;
dt = 1/100;
sigma = sqrt(dt) * sigma;
t = 0:dt:100;

% 生成随机数
r = randn(1,N) * sigma * sqrt(dt) + dt * mu;
y = y0 + dt*(mu*y0 - y0*r);
plot(t, y);

模拟结果展示了不同参数下的运动分布特性。

最后，展示了一个二维随机布朗运动的模拟，使用MATLAB进行计算，并展示了动态变化的过程。